Antialiasing-szűrők (feladatai, előnyei, hátrányai)

Az Antialiasing-szűrők gyakran ajánlottak modern mérőműszerek tartozékaként. De mi is tulajdonképpen egy Antialiasing-szűrő ? Miért és mikor szükséges és mikor nem ? Milyen hatása van egy ilyen szűrőnek, milyen előnyei és hátrányai vannak? Ezekre a kérdésekre válaszol a következő cikk, mely a témakör szélessége és sokoldalúsága miatt természetesen nem terjedhet ki mindenre. Ám a legszükségesebb információkkal gyakorlati segítséget kíván adni a digitális mérésekkel foglalkozó szakembereknek.Az Antialiasing-szűrő egy aktív vagy passzív aluláteresztő szűrő, melyet a digitális jelrögzítés esetén közvetlenül az A/D-átalakító előtt helyeznek el azzal a céllal, hogy így az ún. Aliasing-effektust (alulmintavételezésből adódó jelmeghamisítást) csökkentsek ill. kizárják.

Az Antialiasing-szűrő gyakorlatilag az analóg jel sávkorlátozását végzi el a jel digitalizálása (a mintavételezés és az amplitudó-kvantálás) előtt. Az alulmintavételezésből adódó jelmeghamisítás (ún. Aliasing) előfordulásának csökkenésén ill. kizárásán túl a jel/zaj-viszony is javul.

Az elhangzottak alapján azt lehetne hinni, hogy egy Antialiasing-szűrő csupán előnyökkel rendelkezik. Ez viszont nem így van: a sávszélesség csökkenése megnöveli a felfutási és beállási időt az analóg bemeneten fellépő tranziensek esetén. A gyakorlatban például be kell tartani a híradástechnika modifikált időtörvényét, ami a következőképpen definiálható:

bemeneti sávszélesség * beállási idő = 1,2

Ezenkívül a magasabb fokú aluláteresztő szűrők típusuktól függően kisebb-nagyobb fázis- és amplitúdóhibát okoznak, ami viszont a mérőcsatorna egészének a pontosságát rontja.

Összegezzük még egyszer röviden:

Egy Antialiasing-szűrő …

• kizárja az Aliasing-effektust,
• korlátozza a sávszélességet és javítja a jel/zaj-viszonyt,
• növeli az analóg felfutási és beállási időt,
• csökkenti a mérőcsatorna összpontosságát a fázis- és amplitúdóhiba miatt

Az első szempontnak – az Aliasing-effektusnak – még nem is szenteltünk figyelmet. A következőkben tehát a sávkorlátozó szűrők Antialiasing-szűrőkénti alkalmazásának szükséges-ségéhez vezető okokkal foglalkozunk bővebben.

1-es ábra (forrás: PCB)

Az analóg jel – példaként egy fszinus -frekvenciájú szinuszjel – legyen a t_n = n * T_minta időpontokban mintavételezve. A mintavételezési frekvencia f_minta = 1 / T_minta >> fszinusz választása esetén a szinuszjel – a mintasorozatból rekonstruálva – jól felismerhető. Az első ábra ezt szemlélteti.

A digitalizált jel felismerhetősége viszont nem mindig garantált. Az analóg jelek digitális rögzítésének legfontosabb feltétele a Shanon-tétel (= mintavételezési törvény) betartása, miszerint a mintavételezési frekvencia (f_minta) a jelben található legmagasabb frekvenciájú komponens frekvenciájának (fjel-max) legalább a kétszerese legyen.

A Shanon-tétel egyenlettel kifejezve:

f_minta > 2 * f_jel-max

E tétel figyelmen kívül hagyásakor az ún. Aliasing-effektusok lépnek fel, ami nem más, mint a jel alulmintavételezéséből adódó jelmeghamisítás: egy a valóságban magas frekvenciájú jel alacsonyabb frekvenciájú jelként jelenik meg a digitalizálás után.

Az Aliasing-effektus oka

A disztribúciós elmélet és a Fourier-transzformáció tulajdonságai alapján levezethető, hogy egy diszkrét (eredetileg folytonos jelből mintavételezéssel nyert) jel spektrálfüggvénye végtelen ciklikus (periodikus). A frekvenciatartomány (az A/D-átalakítás előtti analóg komponensek együttes sávszélessége) leképzése nemcsak szimmetrikusan az f = 0 Hz -es frekvencia körül – az ún. bázis-spektrumként, hanem tükörszimmetrikusan a mintavételezési frekvencia és harmonikusai (többszörösei) körül is történik.

Abban az esetben, amikor a folytonos jelnek nincsenek f_minta / 2 -nél nagyobb frekvenciájú komponensei, a 2-es ábrán szemléltetett spektrálfüggvény alakul ki.

2-es ábra (forrás: PCB)

Ha viszont az említett f_minta / 2 -nél magasabb frekvenciájú komponensek is szerepeltek a mintavételezett folytonos jelben (vagy maga a jel alapfrekvenciája a mintavételezési frekvencia kétszeresénél nagyobb), a 3-as ábrán látható spektrálfüggvény alakul ki. Jól láthatók a bázis-spektrum és a mintavételezési frekvencián és többszörösein található spektrum-leképzések közötti átfedés. Ennek eredményeként a mintavételezési frekvencián ill. többszörösein leképzett spektrumok magasabb frekvenciájú komponenseinek leképzése a bázis-spektrumban történik ill. az ehhez a bázis-spektrumhoz tartozó magasfrekvenciájú komponensek más spektrum-leképzésekbe is átkerülnek.

3-as ábra (forrás: PCB)

A digitális jelrögzítés eredménye – a digitalizált diszkrét jelminták sorozata – nem más, mint a bázis-spektrum információtartalma. Ebből kifolyólag a jel rekonstruálásánál (grafikus megjelenítésénél, matematikai kiértékelésénél, frekvenciatartománybeli analízisénél) szerepet játszanak a mintavételezési frekvencia többszörösein levő spektrum-leképzések magasabb frekvenciájú komponensei is, ha a leképzésük a bázis-frekvenciasávba esik. Más szavakkal: Az f_minta / 2 -nél magasabb frekvenciájú jelkomponensek leképzése alacsonyabb frekvenciájú komponensek frekvenciatartománybeli helyein történik és emiatt a jelrekonstrukciónál nemlétező alacsonyfrekvenciás jelkomponensek jelennek meg. Ezt a jelmeghamisítási problémát Aliasing-effektus-nak hívják és az ebből adódó hibák a digitális jelrögzítés után már nem korrigálhatók és mind az időtartománybeli mind a frekvenciatartománybeli analíziseknél jelentkeznek.

Egy Aliasing-problémákra visszavezethető jellegzetes hibát mutat a 4-es ábra.

4-es ábra (forrás: PCB)

Az említett hibák kiküszöbölése érdekében a következő megoldások lehetségesek:

• aluláteresztő szűrővel a frekvenciasáv korlátozása a mintavételezés előtt fmax
• olyan érzékelő alkalmazása, melynek határfrekvenciája fmax

Az Antialiasing-szűrő alkalmazásával elérhető frekvenciasáv-korlátozás egyben a jel/zaj-viszony javulását is eredményezi, mivel magasabb frekvenciájú zavarok nem kerülnek digitalizálásra.

Az Aliasing-effektus elleni szűrő típusának kiválasztása

A szűrők különféle típusainak jellegzetes átviteli függvényük van, ami leírja, hogy a bemenő jelhez képest milyen lesz a szűrt jel. Ez az átviteli karakterisztika a frekvencia függvényében a szűrő amplitúdómenetére és fázismenetére bontható fel.

Mivel mindegyik időjel leírható az amplitúdóspektrumával és a fázisszög-spektrumával, kiszámolhatjuk a szűrőkimeneten megjelenő jelet: az eredő időjel az eredeti időjel amplitúdóértékeinek a szűrő amplitúdómenetével való szorzásából, az eredő időjel fázisszöget az időjel-fázisszögeknek a szűrő fázismenetében leírt fázisszög-eltolással való összeadásából nyerjük. Természetesen a szűrővel megváltoztatott amplitúdó- és fázisspektrum az általuk leírt időjel változását is jelenti.

Érdekünk, hogy az időjel (az f_minta / 2 -nél magasabb frekvenciájú jelkomponensek csillapításán kívül) minél kisebb mértékben változzon. Ennek megfelelően olyan aluláteresztő szűrőre van szükségünk, mely a legkisebb mértékű jeltorzításokat okozza.

Aluláteresztő szűrőknél érvényes, hogy a jeltorzítás mértéke annál nagyobb:

• minél meredekebb a szűrő vágási tartomány,
• minél élesebb a szűrő áteresztő tartománya és a vágási tartománya közötti átmenete,
• minél nagyobb a szűrő amplitúdó-frekvenciamenet hullámzása és
• minél erősebb és több nemlinearitás van a szűrő fázismenetében.

Az 5-ös ábrán látható szűrő-frekvenciakarakterisztikákból kitűnik a Bessel-típusú szűrő célunknak kedvező amplitúdómenete: lapos átmenet a -3dB-es határfrekvenciánál az áteresztő és a vágási frekvenciatartomány között és nem túl meredek frekvenciamenet a vágási tartományban. Nézzük még a 6-os ábrán ábrázolt fázismeneteket, akkor itt is kedvezőnek bizonyul a Bessel-típusú aluláteresztő szűrő, mivel fázismenete az áteresztő tartományban megközelitőleg lineáris és a fáziseltolás mértéke egyébként is minimális. (A jelugrások esetén fellépő túllövés is kisebb más, ugyanennyi pólusú aluláteresztő szűrőtípusokhoz képest.)

6-os ábra (forrás: PCB)

A Bessel-típusú aluláteresztő szűrő egyetlen hátránya, hogy a lapos -3dB-es átmenet miatt a szűrő vágási meredeksége (és ezzel együtt a csillapítási hatása) csak magasabb fekvenciáknál érvényesül teljes mértékben. Ez viszont inkább elfogadható mint a nagyobb mértékű jeltorzítás, mivel elsődleges célunk az eredeti időjel megtartása mellet az Aliasing-effektus csökkentése.

A Bessel-típusú szűrő alkalmazása Antialiasing-szűrőként

Készülékeink opcionális tartozékaként a Bessel-típusú aluláteresztő szűrőt kis jeltorzítása és egyéb az Antialiasing-szűrőkénti alkalmazás szempontjából kedvező tulajdonságai miatt választottuk. Mivel ez a szűrő csak ellenállásokból, kondenzátorokból és műveleti erősítőkből állítható össze, a 8-pólusú szűrő mellett döntöttünk. Még több pólusú aluláteresztő Bessel-szűrők még több aktív és passzív alkatrészt kívántak volna meg, amelyek szórásuk miatt erősen befolyásolták volna a reprodukálhatóságot és a hosszú idejű stabilitást. (Ez egyszerű hibaszámításokkal bebizonyítható.)

Ezzel szemben túl alacsony fokú szűrők a kisebb levágási meredekségük miatt nagy mértékben lecsökkentik a végeredményként rendelkezésünkre álló bázissávszélességet, ha követeljük, hogy egy zavarjel a Nyquist-frekvenciánál (f_nyq = f_minta / 2) legalább -66dB = 1/2048 mértékben csillapítva legyen.

7-es ábra (forrás: PCB)

A 7-es ábra az n-pólusú Bessel-szűrő -3dB-es határfrekvenciájának (f_g) és a mintavételezési frekvencia közötti összefüggést mutatja, ha a Nyquist-frekvenciánál -66dB-es csillapítást szeretnénk elérni. Egy n-pólusú Bessel-szűrőnek a vágási meredeksége egyébként

-n * 20dB / dekad ill. -n * 6dB / oktáv.

Egy 8-pólusú Bessel-típusú szűrő f_g = f_minta / 10 határfrekvenciával a Nyquist-frekvenciánál (f_nyq = f_minta / 2) -66dB-es csillapítással rendelkezik. A szűrő beállási ideje t_set = 12 / f_minta. Minimális – legalább -80dB-es – csillapítások a maximálisan lehetséges csatorna-mintavételezési frekvencia tízszereséig tarthatók. Az említett csillapítások a műveleti erősítők erősítési tartalékaitól és a kondenzátorok sajátfrekvenciájától erősen függnek.

A Nyquist-frekvenciánál -66dB-es csillapítással rendelkező Bessel-típusú aluláteresztők -3dB-es határfrekvenciájának alakulását a szűrő pólusszám-függvényében mutatja a következő táblázat. Könnyen belátható, hogy a mérőcsatornák frekvenciatartományának kihasználása érdekében a 8-pólusú Bessel-szűrők a leginkább alkalmasak sávkorlátozott 12Bit-es mérőcsatornák létrehozására. Kisebb pólusszámú szűrők a rendelkezésre álló frekvenciasáv túlzott szűkítését eredményeznék, nagyobb pólusszámú szűrők a fentiekben említett okok miatt nem kedvezőek. A 8-pólusú Bessel-típusú szűrő ennek alapján az optimális kompromisszum a gazdaságosság és a működés között.

Rahne Eric  (PIM Kft.)
pim-kft.hu
gepszakerto.hu

Kapcsolatfelvétel

A publikáció tartalmát szerzői jogok védik, ennek (akár csak részben történő) felhasználása, elektronikus vagy nyomtatott tovább-publikálása csak a forrás és a szerző nevének feltüntetése mellett, valamint a szerző előzetes írásos engedélyének megléte esetén megengedett. A szerzői jogok (Copyright) megsértése jogi következményekkel jár.