Antialiasing-Filter (Aufgaben, Vorteile, Nachteile)

Antialiasing-Filter werden häufig als Zubehör für moderne Messgeräte empfohlen. Aber was ist eigentlich ein Antialiasing-Filter? Warum und wann ist es notwendig und wann nicht? Welche Auswirkungen hat ein solches Filter, welche Vorteile und Nachteile gibt es? Diese Fragen werden im folgenden Artikel beantwortet, der aufgrund der Breite und Vielseitigkeit des Themas natürlich nicht alles abdecken kann. Dennoch soll er den Fachleuten, die sich mit digitalen Messungen befassen, die notwendigen Informationen für die praktische Anwendung bieten.Ein Antialiasing-Filter ist ein aktives oder passives Tiefpassfilter, das direkt vor dem A/D-Wandler platziert wird, um den sogenannten Aliasing-Effekt (die Verfälschung des Signals durch Unterabtastung) zu reduzieren oder zu eliminieren.

Das Antialiasing-Filter führt praktisch eine Bandbegrenzung des analogen Signals durch, bevor das Signal digitalisiert wird (durch Abtastung und Amplitudenquantisierung). Neben der Reduzierung oder Vermeidung der Signalverfälschung durch Unterabtastung (Aliasing) verbessert sich auch das Signal-Rausch-Verhältnis.

Basierend auf dem Gesagten könnte man glauben, dass ein Antialiasing-Filter nur Vorteile bietet. Das ist jedoch nicht der Fall: Die Verringerung der Bandbreite erhöht die Anstiegs- und Einstellzeit bei auftretenden Transienten am analogen Eingang. In der Praxis muss beispielsweise das modifizierte Zeitgesetz der Nachrichtentechnik eingehalten werden, das wie folgt definiert werden kann: Eingangsbandbreite * Einstellzeit = 1,2 Darüber hinaus verursachen Tiefpassfilter höherer Ordnung je nach Typ kleinere oder größere Phasen- und Amplitudenfehler, die jedoch die Genauigkeit des gesamten Messkanals beeinträchtigen. Zusammenfassend noch einmal kurz: Ein Antialiasing-Filter ...

• eliminiert den Aliasing-Effekt,
• beschränkt die Bandbreite und verbessert das Signal-Rausch-Verhältnis,
• erhöht die analoge Anstiegs- und Einstellzeit,
• verringert die Gesamtgenauigkeit des Messkanals aufgrund von Phasen- und Amplitudenfehlern

Dem ersten Aspekt - dem Aliasing-Effekt - haben wir noch keine Aufmerksamkeit geschenkt. Im Folgenden befassen wir uns daher ausführlicher mit den Gründen, warum Bandbegrenzungsfilter als Antialiasing-Filter benötigt werden.

Abbildung 1 (Quelle: PCB)

Das analoge Signal - beispielsweise ein Sinussignal mit der Frequenz f_n = n * T_Abtast - wird zu den Zeitpunkten t_n = n * T_minta abgetastet. Bei einer Abtastfrequenz f_minta = 1 / T_minta >> Auswahl des Sinussignals wird das Sinussignal - rekonstruiert aus der Abtastfolge - gut erkennbar. Dies wird durch die erste Abbildung veranschaulicht.

Die Erkennbarkeit des digitalisierten Signals ist jedoch nicht immer garantiert. Die wichtigste Voraussetzung für die digitale Erfassung analoger Signale ist die Einhaltung des Shannon-Theorems (= Abtasttheorem), wonach die Abtastfrequenz (f_minta) mindestens das Zweifache der Frequenz der höchsten im Signal enthaltenen Komponente (f_sig-max) betragen muss. Ausgedrückt durch die Shannon-Formel: f_minta > 2 * f_sig-max Bei Nichtbeachtung dieses Theorems treten sogenannte Aliasing-Effekte auf, die nichts anderes als die Signalverfälschung durch Unterabtastung sind: Ein in der Realität hochfrequentes Signal erscheint nach der Digitalisierung als niederfrequentes Signal.

Ursache des Aliasing-Effekts

Aus den Eigenschaften der Verteilungstheorie und der Fourier-Transformation lässt sich ableiten, dass das Spektrum eines diskreten (ursprünglich kontinuierlichen Signals, das durch Abtastung gewonnen wurde) spektral zyklisch (periodisch) ist. Die Abbildung des Frequenzbereichs (die gemeinsame Bandbreite der analogen Komponenten vor der A/D-Wandlung) erfolgt nicht nur symmetrisch um die Frequenz f = 0 Hz herum - als sogenanntes Basisspektrum - sondern auch spiegelsymmetrisch um die Abtastfrequenz und deren Harmonische (Vielfache). Wenn das kontinuierliche Signal Komponenten aufweist, die höher sind als f_minta / 2 (oder die Grundfrequenz des Signals größer als das Doppelte der Abtastfrequenz ist), entsteht das Spektrum, das in Abbildung 3 zu sehen ist. Die Überlappung zwischen dem Basisspektrum und den Spektralabbildungen bei der Abtastfrequenz und deren Vielfachen ist deutlich erkennbar. Als Ergebnis werden die höherfrequenten Komponenten, die durch die Abtastfrequenz und deren Vielfache abgebildet werden, im Basisspektrum dargestellt oder die hochfrequenten Komponenten, die zu diesem Basisspektrum gehören, werden in andere Spektralabbildungen übertragen.

Abbildung 3 (Quelle: PCB)

Das Ergebnis der digitalen Signalaufzeichnung - die digitalisierte diskrete Musterserie - ist nichts anderes als der Informationsgehalt des Basisspektrums. Daher spielen bei der Signalrekonstruktion (grafische Darstellung, mathematische Auswertung, Analyse im Frequenzbereich) auch die höherfrequenten Komponenten von Spektrumbildungen, die Vielfache der Abtastfrequenz sind, eine Rolle, wenn ihre Bildung in das Basisfrequenzband fällt. Mit anderen Worten: Die Abbildung von Signalkomponenten mit einer Frequenz höher als f_Abtast / 2 erfolgt an den Stellen niedrigerfrequenter Komponenten im Frequenzbereich, wodurch nicht vorhandene niederfrequente Signalanteile bei der Signalrekonstruktion auftreten. Dieses Problem der Signalverfälschung wird als Aliasing-Effekt bezeichnet, und die daraus resultierenden Fehler sind nach der digitalen Signalaufzeichnung nicht korrigierbar und treten sowohl bei Zeitbereichs- als auch bei Frequenzbereichsanalysen auf.

Ein typischer Fehler, der auf Aliasing-Probleme zurückzuführen ist, wird in Abbildung 4 gezeigt.

Abbildung 4 (Quelle: PCB)

Zur Beseitigung der genannten Fehler können folgende Lösungen in Betracht gezogen werden:

• Begrenzung des Frequenzbereichs vor der Abtastung durch einen Tiefpassfilter mit fmax
• Verwendung eines Sensors mit einer Grenzfrequenz von fmax

Die Anwendung eines Antialiasing-Filters zur Begrenzung des Frequenzbereichs führt gleichzeitig zu einer Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses, da höherfrequente Störungen nicht digitalisiert werden.

Auswahl des Filtertyps zur Vermeidung des Aliasing-Effekts

Die verschiedenen Filtertypen haben charakteristische Übertragungsfunktionen, die beschreiben, wie das gefilterte Signal im Vergleich zum Eingangssignal sein wird. Diese Übertragungseigenschaft kann in Abhängigkeit von der Frequenz in Amplituden- und Phasengänge des Filters unterteilt werden. Da jedes Zeitsignal durch sein Amplitudenspektrum und Phasenwinkelspektrum beschrieben werden kann, können wir das Signal berechnen, das am Filterausgang erscheint: Das resultierende Zeitsignal ergibt sich aus der Multiplikation der Amplitudenwerte des Originalzeitsignals mit dem Amplitudengang des Filters und der Phasenwinkel des resultierenden Zeitsignals aus der Addition der Phasenwinkel des Zeitsignals mit der Phasenverschiebung des Filters. Natürlich bedeutet die Änderung des Amplituden- und Phasenspektrums durch das Filter auch eine Änderung des beschriebenen Zeitsignals. Unser Ziel ist es, dass das Zeitsignal (abgesehen von der Dämpfung der Signalanteile mit einer Frequenz höher als f_Abtast / 2) so wenig wie möglich verändert wird. Daher benötigen wir einen Tiefpassfilter, der die geringstmögliche Signalverzerrung verursacht. Bei Tiefpassfiltern gilt, dass die Signalverzerrung umso größer ist:

• je steiler der Übergangsbereich des Filters ist,
• je schärfer der Übergang zwischen dem Durchlass- und dem Sperrbereich des Filters ist,
• je größer die Amplituden-Frequenzgangschwankung des Filters ist und
• je stärker und mehr Nichtlinearitäten im Phasengang des Filters vorhanden sind.

Abbildung 5 (Quelle: PCB)

Die in Abbildung 5 gezeigten Filterfrequenzcharakteristiken zeigen, dass der Bessel-Typ-Filter eine günstige Amplitudogang hat: flacher Übergang bei der -3dB-Grenzfrequenz zwischen dem Durchlass- und Sperrbereich und eine nicht zu steile Frequenzantwort im Sperrbereich. Betrachten wir die in Abbildung 6 dargestellten Phasengänge, so erweist sich auch der Bessel-Typ-Tiefpassfilter als vorteilhaft, da sein Phasengang im Durchlassbereich annähernd linear ist und die Phasenverschiebung ohnehin minimal ist. (Bei Sprüngen im Signal treten weniger Übersteuerungen auf im Vergleich zu anderen Tiefpassfiltertypen mit der gleichen Anzahl von Polen.)

Abbildung 6 (Quelle: PCB)

Der einzige Nachteil des Bessel-Typ-Tiefpassfilters ist, dass aufgrund des flachen -3dB-Übergangs die Filtersteilheit (und damit die Dämpfungswirkung) nur bei höheren Frequenzen vollständig wirksam wird. Dies ist jedoch eher akzeptabel als eine größere Signalverzerrung, da unser primäres Ziel die Beibehaltung des Originalsignals ist und gleichzeitig die Reduzierung des Aliasing-Effekts.

Anwendung des Bessel-Typ-Tiefpassfilters als Antialiasing-Filter

Als optionales Zubehör für unsere Geräte haben wir uns für den Bessel-Tiefpassfilter entschieden, aufgrund seiner geringen Signalverzerrung und anderen vorteilhaften Eigenschaften als Anti-Aliasing-Filter. Da dieser Filter nur aus Widerständen, Kondensatoren und Operationsverstärkern aufgebaut werden kann, haben wir uns für den 8-Pol-Filter entschieden. Tiefpass-Bessel-Filter mit noch mehr Polen hätten mehr aktive und passive Bauteile erfordert, die aufgrund ihrer Streuung die Reproduzierbarkeit und Langzeitstabilität stark beeinträchtigt hätten. (Dies kann durch einfache Fehlerrechnungen nachgewiesen werden.) Im Gegensatz dazu würden Filter mit zu niedriger Ordnung aufgrund ihrer geringeren Abschneidesteilheit die verfügbare Basisbandbreite erheblich reduzieren, wenn wir verlangen, dass ein Störsignal bei der Nyquist-Frequenz (f_nyq = f_abtast / 2) mindestens um -66dB = 1/2048 abgeschwächt wird.

Abbildung 7 (Quelle: PCB)

Abbildung 7 zeigt den Zusammenhang zwischen der -3dB-Grenzfrequenz (f_g) eines n-Pol-Bessel-Filters und der Abtastfrequenz, wenn eine Dämpfung von -66dB bei der Nyquist-Frequenz angestrebt wird. Die Flankensteilheit eines n-Pol-Bessel-Filters beträgt ansonsten

-n * 20dB / Dekade bzw. -n * 6dB / Oktave. Ein 8-Pol-Bessel-Tiefpassfilter mit einer Grenzfrequenz f_g = f_abtast / 10 bei der Nyquist-Frequenz (f_nyq = f_abtast / 2) weist eine Dämpfung von -66dB auf. Die Einstellzeit des Filters t_set = 12 / f_abtast. Mindestens -80dB-Dämpfungen können bis zum Zehnfachen der maximal möglichen Kanalabtastfrequenz aufrechterhalten werden. Diese genannten Dämpfungen hängen stark von den Verstärkungsreserven der Operationsverstärker und den Eigenfrequenzen der Kondensatoren ab. Bessel-Tiefpassfilter mit einer Dämpfung von -66dB bei der Nyquist-Frequenz zeigen die Entwicklung der -3dB-Grenzfrequenz des Filters in Abhängigkeit von der Filterpolzahl in der folgenden Tabelle. Es ist leicht einzusehen, dass 8-Pol-Bessel-Filter am besten für die Erstellung von bandbegrenzten 12-Bit-Messkanälen geeignet sind, um den Frequenzbereich der Messkanäle optimal auszunutzen. Filter mit weniger Polen würden zu einer übermäßigen Einschränkung des verfügbaren Frequenzbereichs führen, während Filter mit mehr Polen aufgrund der genannten Gründe nicht vorteilhaft wären. Der 8-Pol-Bessel-Tiefpassfilter stellt somit den optimalen Kompromiss zwischen Wirtschaftlichkeit und Betrieb dar.

Polzahl	-3dB-Grenzfrequenz
2	fabtast / 120
3	fabtast / 37
4	fabtast / 20,8
5	fabtast / 15
6	fabtast / 12,2
7	fabtast / 10,8
8	fabtast / 10

Rahne Eric (PIM Kft.) pim-kft.hu, gepszakerto.hu

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